نوسانات و همبستگی نرخ متقاطع, درک هندسی

در این پست نشان خواهیم داد که چگونه می توان از خصوصیات یک مثلث برای دستیابی شهودی به بینش در مورد نوسانات و همبستگی جفت ارز استفاده کرد.

هنگامی که شاخه غالب ریاضیات, هندسه در حال حاضر نقش ثانویه. با این حال به نظر میرسد استدلالهای گرافیکیاش هنوز برای مغز ما مناسبتر است زیرا اغلب راحتتر قابل فهم و به خاطر سپردن هستند. این مسیری است که والتر و لوپز در "شکل چیزها در یک سه گانه ارزی" دنبال می کنند [1] که در زیر معرفی می کنیم.

جفت ارز متقابل

با توجه به اینکه دلار نقدینگی ترین ارز در بازار ارز است, نرخ ارز اکثرا در برابر این ارز نقل می شود (به استثنای چند استثنا که ما نادیده می گیریم) زیرا هر نرخ دیگری را می توان به صورت ترکیبی از این مظنه ها دریافت کرد. به عنوان مثال یورو اف (یکی از استثناهای فوق الذکر) را می توان از طریق عملیات زیر از یورو دلار و دلار دریافت کرد:

جایی که می توانید دلار را در دو نرخ لغو کنید. توجه داشته باشید که ما می توانستیم در دلار ضرب کنیم اما به زودی مشخص می شود که چرا این روش را انتخاب کردیم.

از ما خواهد شد با نوسانات و همبستگی برخورد, ما بیشتر علاقه مند به رابطه فوق بیان شده از نظر بازده ورود به سیستم هستند:

برای سادهسازی نمادگذاری از این به بعد هر زمان که به یک جفت ارز (مثلا یورو دلار) ارجاع میدهیم منظور ما بازده ارز است.

Using the properties of the variance of the sum of two variables, we can express EURCHF volatility (\(\sigma_>\ )) به عنوان تابعی از دو نرخ دیگر یورو به دلار و دلار:

جایی که \(\رو\) همبستگی است.

مثلثی برای حکومت بر همه

برای کسانی که مثلثات بالا را می شناسند ممکن است زنگ بزند, در واقع بسیار شبیه قانون کسینوس است !

$ $ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2 – 2 الف ب \ چون (\الفا), \چهار گانه(3) (

جایی که \(\الفا\) زاویه ای است که توسط \(ب\) و \(ج\) تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که حتی اگر ما این کار را برای نرخ متقاطع انجام دادیم می توانستیم برای هر یک از دو نرخ دیگر در نظر گرفته شده بیان مشابهی داشته باشیم. از این رو با شناسایی اصطلاحات می توان در نظر گرفت که نوسانات اضلاع یک مثلث و همبستگی کسینوس زوایای خود هستند. این ما را به نمایش گرافیکی زیر هدایت می کند:

شکل 1: نمونه ای از نمایش مثلث ارزی برای یورو, فرانک و دلار. داده ها مربوط به سال 2006 جی3 است.

در تصویر می بینیم که چگونه یورو و فرانک فرانک هر دو ارز اروپایی به یکدیگر بسیار نزدیکتر هستند. این بدان معنی است که برای مثال برای یک سرمایه گذار یورو با قرار گرفتن در معرض دلار فرانک بسیار جذاب تر از یک سرمایه گذار دلار با قرار گرفتن در معرض یورو خواهد بود. به طور خلاصه, این رویکرد کمک می کند تا اطلاعات در حال حاضر در یک تغلیظ شده در عین حال قابل تفسیر راه.

ترجمه خواص مثلث به بینش مالی

به غیر از نمایش بصری خوب, چگونه می توانیم استفاده از این? خوب, ما هم اکنون می توانید استفاده از خواص مثلث اساسی را برای کمک به ما در درک برخی از ویژگی های این سری مالی.

1. سه ضلع یک مثلث را تعریف می کنند یعنی با توجه به سه نوسان می توانیم به سه همبستگی برسیم . این امر به ویژه برای محاسبه همبستگی ضمنی از قیمت گزینه مربوطه , اما این یک موضوع برای یک روز دیگر است.

2. سه زاویه یک مثلث را تعریف نمی کنند. با توجه به سه همبستگی نمیتوانیم نوسانات مربوطه را بدست بیاوریم.

3. با توجه به دو زاویه می توانیم سومی را بدست بیاوریم زیرا باید تا 180 دلار اضافه کنند. به همین ترتیب در مورد همبستگی ها نیز صدق می کند. این واقعیت نکته 2 را توضیح می دهد. , یکی برای ساخت مثلث به سه داده مستقل نیاز دارد و زاویه سوم فقط ترکیبی خطی از دو مورد دیگر است.

ما می توانیم از این اطلاعات برای ایجاد برخی محدودیت ها در انواع ماتریس های همبستگی که می توانیم انتظار داشته باشیم استفاده کنیم. برای هر سه متغیر مستقل, تنها شرط ماتریس همبستگی

باید ملاقات کرد این است که قطعی غیر منفی باشد. این به دلیل ماتریس کوواریانس (تعمیم واریانس برای ابعاد بالاتر) است که از همبستگی حاصل می شود و همچنین باید قطعی غیر منفی باشد (که معادل غیر منفی بودن در 1 بعدی است). یک توضیح بصری تر بر اساس این ایده است که داده شده است \(\رو_\) و \(\رو_\) , \(\رو_\) اگر کسی بخواهد ثبات را حفظ کند کاملا بی محدودیت نیست. به طور خلاصه نیاز به انسجام به نابرابری درجه دوم زیر تبدیل می شود (تعیین کننده غیر منفی):

این نشان دهنده یک حجم 3 بعدی محصور شده توسط دو سطح محدود کننده است که می توانیم با حل معادله درجه دوم مربوط به موردی که تعیین کننده 0 است دریافت کنیم. در نمودار زیر نارنجی (شفاف) مربوط به کران بالا و کبود با کران پایین است.

شکل 2: مقادیر معتبر یک ماتریس همبستگی 3×3 می تواند داشته باشد. سطح نارنجی حد بالایی را مشخص می کند در حالی که سطح پایین حد پایین را تعیین می کند.

اگر اکنون معادله (4) را رسم کنیم به مثلث ارزهای خود برگردیم خواهیم دید که بسیار شبیه به حد بالا در تصویر بالا است:

شکل 3: فضای مقادیر معتبر یک ماتریس همبستگی می تواند در یک سه گانه ارز باشد. به جای اینکه یک حجم به عنوان در حالت کلی, وابستگی خطی بین جفت ارز کاهش فضا به یکی از سطوح محدود کننده خود را.

در واقع این نتیجه شانس نیست. متغیرهای سه گانه ارزی ما به صورت خطی وابسته هستند (\(ز=ایکس ی\)) ماتریس همبستگی رتبه 2 و تعیین کننده 0 است به این معنی که مجموعه مقادیر ممکن از یک حجم به تنها یکی از سطوح محدود کننده کاهش می یابد. این همچنین بدان معنی است که معادله (4) یک راه حل برای معادله درجه دوم است (اجازه دهید به طور خلاصه فراموش کنیم که در واقع یک نابرابری است) در (5).

این محدودیت ها ممکن است برای مثال زمانی مورد استفاده قرار گیرد که ما تخمین همبستگی بین دو ارز را داشته باشیم (شاید بر اساس سیاست بانک مرکزی یا وابستگی متقابل اقتصادی) و ما می خواهیم برخی از محدودیت ها را بر روی همبستگی هایی که این می تواند با یک سوم داشته باشد تعیین کنیم.

4. Given 3. , only one angle can be obtuse (>90º) به این معنی که فقط یک همبستگی منفی وجود دارد.

5. با توجه به دو طرف نمی توانیم طرف سوم را بدست بیاوریم. این به خوبی توضیح می دهد که چرا ما نمی توانیم سطح نوسان (اگر کلمه سطح در اینجا به معنای چیزی برای شما نیست, فقط نادیده بگیریدش) نرخ های متقاطع بدون فرض های اضافی در مورد حداقل یکی از همبستگی های بین جفت ارز.

بسته بندی تا

تاکنون ما به طور خلاصه مقاله والتر و لوپز را خلاصه کرده ایم [1] که شهود بسیار خوبی به روابط بین نوسانات و همبستگی ها در یک سه گانه ارزی می دهد. در ادامه ما بر روی دو موضوع اصلی که در اینجا کنار گذاشته ایم تمرکز خواهیم کرد: تجزیه و تحلیل زمان-دامنه و همبستگی های ضمنی که سزاوار پست خاص خود هستند.

منابع

[1] والتر, سی.و لوپز, جی. ای, 1999. شکل چیزها در یک سه گانه ارز. بانک فدرال رزرو مقالات کار سان فرانسیسکو, 4 .